1. BILANGAN ASLI
Dala kem matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}.
Bilangan asli ini juga sering disebut dengan bilangan bulat positif. Angka yang termasuk contoh bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, dan seterusnya hingga tidak terhingga. Bilangan cacah adalah gabungan bilangan nol dan bilangan asli.Bilangan asli tertutup atau terbatas hanya pada penjumlahan dan perkalian. Pernjumlahan dan perkalian yang melibatkan dua atau lebih bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Sedangkan pengurangan dan pembagian bilangan asli tidak selalu menghasilkan bilangan asli.Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
2. BILANGAN NOL
Bilangan nol adalah bilangan yang berarti kosong atau tidak ada objek apapun. Bilangan nol dilambangkan dengan angka 0. Bilangan nol adalah bilangan nol itu sendiri (0)
Contoh: N = { 0 }Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 dan terus bertambah 1 atau himpunan bilangan bulat positif yang tidak termasuk 0. Di dalam himpunan bilangan bulat positif yaitu angka (0,1,2,3…). Maka yang termasuk ke dalam anggota bilangan asli yakni (1,2,3,4,…) Bilangan nol bukan bilangan positif maupun bilangan negatif, sehingga tidak mempunyai tanda. Dalam aritmetika, +0 dan −0 keduanya melambangkan bilangan yang sama yaitu “0”, yang merupakan invers aditif terhadapnya sendiri.Tidak hanya 0 habis dibagi 2, 0 habis dibagi oleh setiap pangkat dari 2, yang relevan dalam angka biner sistem yang digunakan oleh komputer. Dalam hal ini, 0 adalah bilangan “paling genap”. Di kalangan masyarakat umum, paritas dari nol menjadi simpang siur. Bilangan ganjil didefinisikan sebagai bilangan yang tidak habis dibagi 2. Secara matematis, bilangan n ganjil jika dan hanya jika n=2k+1. Mari kita masukkan n=0. Karena k = -1/2 dan -1/2 bukanlah bilangan bulat, maka nol bukanlah bilangan ganjil. Sehingga nol adalah bilangan genap. 0 Bukan Termasuk Bilangan Kelipatan 5 dan tidak ada bilangan yang kelipatannya 0 selain 0.
3. BILANGAN CACAH
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif atau himpunan bilangan asli ditambah 0. Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif. Bilangan cacah dikenali pada bilangan-bilangan yang membentuk himpunan. Angka yang termasuk bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, dan seterusnya hingga tak terhingga.
Bilangan cacah adalah bilangan yang nilainya bulat yang dimulai dari angka nol, dilanjutkan dengan bilangan bulat positif. Berikut adalah bilangan yang merupakan bilangan cacah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
•Merupakan bilangan bulat yang tidak negatif.
•Merupakan bilangan asli ditambah nol.
•Simbol dari bilangan cacah adalah C. Yang dimaksud dengan fakta-fakta dasar perkalian bilangan cacah adalah perkalian bilangan 0 (nol) sampai dengan 9 (sembilan), misalnya 8 x 3, 1 x 9, 6 x 0, ataupun 5 x 4. Adapun 3 x 15 bukanlah fakta dasar perkalian karena 15 bukan bilangan yang lambangnya terdiri dari satu angka. Tidak semua bilangan desimal yang termasuk bilangan cacah. Misal: 1,1 bukan bilangan cacah karena bilangan cacah tidak memiliki angka di belakang koma.Bilangan cacah merupakan bilangan bulat positif yan digabung dengan nol, contohnya seperti 0,1,2,3,4,5,6,7. Perbedaan bilangan cacah dan bilang asli antara lain: Perbedaan bilangan asli dengan bilangan cacah
Perbedaan dari kedua bilangan ini terletak pada angka 0. Himpunan bilangan cacah dimulai dari 0 hingga tidak terhingga sedangkan bilangan asli dimulai dari 1
4. BILANGAN BULAT
Bilangan bulat adalah bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Sebagai contoh, 21, 4, 0, dan -2048 merupakan bilangan bulat, sedangkan 9,75, 5.
Jenis Bilangan Bulat, Mudah Mengetahuinya!
1.Bilangan Bulat Negatif (-) Adalah bilangan yang terletak di sebelah kiri angka (0) pada garis bilangan. …
2.Bilangan Nol (0) Adalah bilangan yang berdiri sendiri, dan terletak tepat di tengah-tengah garis bilangan.
3.Bilangan Bulat Positif (+). Bilangan bulat adalah bilangan terdiri atas angka-angka positif, negatif, dan juga bilangan nol. Bilangan bulat terdiri atas dua jenis yaitu bilangan bulat genap dan bilangan bulat ganjil. Pembagian dua bilangan bulat positif akan menghasilkan bilangan bulat positif. Sementara, pembagian dua bilangan bulat negatif akan menghasilkan bilangan bulat positif. Kemudian, jika membagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, hasilnya adalah bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z. Lambang ini berasal dari bahasa Jerman, yaitu Zahlen yang berarti bilangan. Contoh Bilangan Bulat
Bilangan bulat: { … , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … } Bilangan bulat positif: { 1, 2, 3, 4, 5, … } Bilangan bulat nol: Bilangan ini merupakan bilangan kosong yang sering dilambangkan dengan angka 0. Bilangan bulat negatif: { -1, -2, -3, -4, -5, … }
Bilangan bulat dapat dianggap sebagai titik-titik diskret yang berjarak sama sepanjang garis bilangan. Pada gambar ini, bilangan-bilangan bulat positif ditandai dengan warna hijau dan bilangan-bilangan bulat negatif dengan warna biru.
Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, sekaligus juga dari bilangan real
5. BILANGAN PECAHAN
Pecahan, atau disebut fraksi adalah istilah dalam matematika yang memiliki bentuk {\displaystyle {a \over b}} dimana b ≠ 0. Dalam hal ini a merupakan pembilang dan b merupakan penyebut. Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut.
1.Pecahan Biasa. Pecahan biasa dapat berupa pecahan murni atau pecahan tidak murni.
2.Pecahan Campuran. Pecahan campuran adalah pecahan yang memuat campuran bilangan bulat dan pecahan murni.
3. Bentuk Desimal.
4.Persen dan Permil.
Bilangan pecahan adalah bentuk lain suatu bilangan dalam ilmu matematika yang dinyatakan menjadi a/b, di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut. Dalam bahasa Inggris, bilangan ini disebut dengan fraction. Untuk pecahan, kebalikannya merupakan pecahan yang berbeda, yaitu dengan angka-angka yang “dibalik” (invers). Misalnya, kebalikan dari 3/4 adalah 4/3. Angka berapa pun jika dikalikan dengan kebalikannya akan menghasilkan 1. Contoh dari bilangan pecahan sejati seperti 1/2, 2/5, dan 4/7. Untuk pecahan tidak sejati adalah pecahan yang memiliki pembilang yang lebih besar dari penyebutnya, seperti 6/5 dan 7/4. Bilangan pecahan yaitu suatu bilangan yang merupakan hasil bagi antara bilangan bulat dan bilangan asli. – Bialngan pecahan biasa contohnya :1/3, 2/4, ¾, dan seterusnya. – Bilangan pecahan campuran,contohnya : 5/3 dapat disederhanakan menjadi 1 2/3 ( satu dua per tiga ), dan seterusnya. Pecahan terdiri dari dua variabel, yaitu a sebagai pembilang atau bilangan yang dibagi, sementara b sebagai penyebut atau bilangan yang membagi. Jika, suatu bilangan memiliki dua unsur ini, maka bilangan tersebut adalah pecahan.
6. BILANGAN RASIONAL
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat {\displaystyle a} dan {\displaystyle b}, dengan syarat {\displaystyle b} tidak boleh sama dengan 0. Bilangan rasional mencakup beberapa jenis bilangan yaitu bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional tersebut. Ahli matematika memberikan simbol ℚ untuk bilangan rasional. rasional adalah suatu sikap yang dilakukan berdasarkan pikiran dan pertimbangan yang logis dan cocok dengan akal sehat manusia. Contoh : Seseorang yang ingin kaya kemudian dia mencoba berbisnis makanan dengan membuka warung bakso dan mie ayam. Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan bilangan bulat serta b ≠ 0. Contoh bilangan rasional yaitu 2/3, 5/7, 11/4 dan bilangan pecahan/rasional lainnya. Bilangan rasional sendiri adalah sebuah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk sembarang pecahan ab , dengan beberapa ketentuan seperti, a dan b adalah bilangan bulat di mana bilangan a melambang kan pembilang dan b merupakan penyebut bilangan rasional, dan juga b ≠ 0. Jika penyebut dari bilangan pecahan.Bilangan rasional merupakan bilangan yang dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat a dan b, ditulis a/b dengan syarat b ≠ 0. Bilangan rasional juga memiliki batasan yaitu terdapat pada selang (- ∞,∞). Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional.
7. BILANGAN IRASIONAL
Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi. Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat di ubah menjadi bentuk karena, angka dibelakang koma membentuk pola yang tidak berurutan. Contoh bilangan irasional, sebagai berikut: Bilangan (phi) π= jika diubah ke dalam bilangan desimal adalah 3,142857142857143. Suatu bilangan bisa dikatakan positif atau negatif. Misalnya, -0,5 adalah bilangan rasional negatif, dan -√5 adalah bilangan irasional negatif. Hasil operasi matematika (perkalian, penjumlahan, pengurangan, dan pembagian) antar sesama bilangan rasional juga akan menghasilkan bilangan yang sama. Namun tidak semua bilangan akar merupakan bilangan irasional, contohnya √4 atau √9 yang hasilnya adalah 2 dan juga 3. Satu lagi contoh bilangan irasional yang harus kamu ketahui adalah bilangan eksponensial (e), yang merupakan sebuah konstanta dengan nilai 2.7182818. Bilangan rasional terdiri dari : Bilangan asli = 1, 2, 3, 4 , 5, … bagian yaitu : bilangan bulat negatif, bilangan bulat positif, bilangan bulat nol.
8. BILANGAN REAL
Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan √2. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat – dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik – merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap (R ; + ; · ; <), sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau “lambang desimal” tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik
Real-nya adalah terhitung; yaitu: meskipun himpunan dari semua bilangan asli dan himpunan semua bilangan real adalah himpunan tak hingga
9. BILANGAN IMAJINER
Bilangan imajiner (bahasa Inggris: imaginary number) adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1.
Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisis gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x
10. Bilangan kompleks
Bilangan kompleks dalam matematika, adalah bilangan yang dinotasikan oleh a + bi di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah suatu bilangan imajiner di mana i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner.
Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.