1.Bilangan asli Bilangan asli sering disebut sebagai bilangan bulat positif, bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia. Bahkan beberapa manusia atau penelitian menunjukkan beberapa jenis kata yang juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang menghitung dan sebagainya. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli termasuk kaitannya dengan bilangan prima dipelajari dalam teori bilangan untuk matematika lanjut bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 dan terus bertambah 1 atau himpunan bilangan bulat positif yang tidak termasuk 0. Di dalam himpunan bilangan bulat positif yaitu angka (0,1,2,3…). Maka yang termasuk ke dalam anggota bilangan asli yakni (1,2,3,4,…) konsep-konsep bilangan yang lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mengidentifikasinya. Himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap.
2.Bilangan nol,Bilangan nol adalah bilangan yang tidak memiliki nilai apapun. Ini artinya tidak bilangan nol adalah bilangan yang kosong.
Bilangan nol ditulis dengan angka 0. Contoh bilangan nol adalah angka 0 itu sendiri. Bilangan nol adalah bilangan yang berarti kosong atau tidak ada objek apapun. Bilangan nol dilambangkan dengan angka 0.
Silahkan Baca Juga Artikel dan Video Berikut ini :
- Project Siswaku Teorema Phytagoras 15
- Dokumen Yang Berkaitan Dengan PKB
- Contoh Berkas Pencairan Sertifikasi
- Hari ke 2 MPLS SMP Negeri 51 Batam
Bilangan nol merupakan angka yang istimewa. Semua bilangan yang dikalikan dengan nol, akan menghasilkan nol.
Dilansir dari Wolfram MathWorld, pembagi dan fungsi pembagi nol dianggap tidak terdefinisi. Sehingga semua bilangan yang dibagi nol, nilainya tidak akan terdefinisi.
3.Bilangan cacah,Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif atau himpunan bilangan asli ditambah 0. Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif.[1] Bilangan cacah dikenali pada bilangan-bilangan yang membentuk himpunan. Himpunan bilangan cacah dapat berupa bilangan bulat yang tidak negatif atau bilangan asli yang ditambah nol. Selain itu, bilangan cacah selalu bertanda positif dan umumnya diberi notasi
Sifat bilangan cacah, meliputi ketertutupan, dimana untuk setiap dua bilangan cacah yang ditambahkan maupun dikalikan,[3] maka hasilnya juga bilangan cacah. Sebagai contoh, {\ 0+3=3}{\ 0+3=3} memenuhi syarat di atas lantaran {0}{0} dan {\ 3}{\ 3} berupa bilangan cacah sehingga hasilnya juga bilangan cacah, yaitu 3 3}. Sifat lain mengenai bilangan cacah adalah bersifat komutatif, asosiatif, serta distributif[4] terhadap anggota himpunan
Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang nilainya tidak negatif, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5 … dst. Anggota bilangan ini bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, 5 … dst ditambah 0. Ciri utamanya yang paling mudah dikenali adalah nilainya yang selalu positif dan memiliki angka 0.
Dalam notasi matematika, bilangan ini biasanya disimbolkan dengan huruf C. Hal ini untuk membedakannya dengan himpunan bilangan lain yang juga diberi simbol huruf yang spesifik, misalnya:
C : Bilangan cacah
N : Bilangan asli (N = natural), kadang-kadang dapat ditulis dengan notasi A (A = asli)
Z : Bilangan bulat (Z = zahlen, Bahasa Jerman untuk “bilangan”)
Q : Bilangan rasional (Q = quociente, Bahasa Italia untuk “pembagian”)
R : Bilangan riil (R = real)
Jadi, himpunan bilangan cacah dapat ditulis sebagai berikut C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15…}
4.Bilangan bulat,bilangan bulat ini terbagi menjadi dua jenis, yakni bilangan bulat positif dan negatif. Bilangan bulat positif bisa juga disebut sebagai bilangan asli atau himpunan yang bernilai positif. Sementara bilangan bulat negatif merupakan himpunan bilangan bulat yang bernilai negatif.
Menurut Wahyudin Djumanta dalam buku Matematika, bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Posisi bilangan bulat positif adalah di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif di bagian kiri nol.
Dengan kata lain, apabila semakin ke kanan letak suatu bilangan, maka nilainya akan semakin besar dan sebaliknya. Jadi semakin besar bilangan bulat negatif, berarti akan semakin kecil nilainya. Sementara semakin besar bilangan bulat positif, maka nilainya semakin besar juga.
Bilangan bulat positif adalah bilangan yang dimulai dari angka satu dan seterusnya. Contohnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, dan seterusnya. Jika diteruskan, nilainya semakin besar.
5.Bilangan pecahan,Bersumber dari Byjus, pecahan adalah bagian dari satu keseluruhan dari suatu kuantitas tertentu. Pecahan atau dalam bahasa Inggris bernama fraction, berasal dari bahasa Latin fractus yang artinya rusak.
Bentuk bilangan pecahan biasa dituliskan dengan a/b, contohnya 1/2, 3/4, 5/7, dan lain-lain. Bilangan yang berada di atas garis pemisah disebut dengan pembilang, sedangkan bilangan di bagian bawah disebut penyebut.
Pecahan yang memiliki penyebut 100 biasa disebut dengan persen. Sedangkan pecahan dengan penyebut 1000 disebut dengan permil. Contohnya adalah 5/100 yang dilambangkan dengan 5% atau dibaca 5 persen. Sedangkan 5/100 dibaca 5 permil
Untuk pecahan tidak sejati adalah pecahan yang memiliki pembilang yang lebih besar dari penyebutnya, seperti 6/5 dan 7/4.
Jenis-jenis bilangan pecahan
Melansir dari Buku Siswa Matematika Semester 1 Kemendikbud Ristek, ada empat jenis bilangan pecahan yang perlu dipelajari siswa. Jenis-jenis bilangan tersebut:
Pecahan sejati dan tidak sejati
Jenis pecahan ini memiliki bilangan pembilang yang lebih kecil dari penyebut. Selain Faktor Pembagi Terbesar (FPB) pembilang dan penyebutnya pada pecahan sejati bernilai 1.
Contoh dari bilangan pecahan sejati seperti 1/2, 2/5, dan 4/7.
Pecahan desimal
Pecahan desimal memiliki sistem bilangan yang tersusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Contoh dari jenis pecahan ini adalah 0,5; 1,25; dan 3,3. Pada contoh bilangan 1,25 dapat dijabarkan dengan:
Bilangan 1 bernilai 1 x 1 = 1 Bilangan 2 bernilai 2 x 1/10 = 2/10` Bilangan 5 bernilai 5 x 1/100 = 5/100
Pecahan campuran
Pecahan campuran terdiri dari bilangan bulat dengan bilangan campuran, contohnya seperti 2 1/3 dan 3 1/5.
6.Bilangan rasional,Bersumber dari Byjus, pecahan adalah bagian dari satu keseluruhan dari suatu kuantitas tertentu. Pecahan atau dalam bahasa Inggris bernama fraction, berasal dari bahasa Latin fractus yang artinya rusak.
Bentuk bilangan pecahan biasa dituliskan dengan a/b, contohnya 1/2, 3/4, 5/7, dan lain-lain. Bilangan yang berada di atas garis pemisah disebut dengan pembilang, sedangkan bilangan di bagian bawah disebut penyebut.
Pecahan yang memiliki penyebut 100 biasa disebut dengan persen. Sedangkan pecahan dengan penyebut 1000 disebut dengan permil. Contohnya adalah 5/100 yang dilambangkan dengan 5% atau dibaca 5 persen. Sedangkan 5/100 dibaca 5 permil
Untuk pecahan tidak sejati adalah pecahan yang memiliki pembilang yang lebih besar dari penyebutnya, seperti 6/5 dan 7/4.
Jenis-jenis bilangan pecahan
Melansir dari Buku Siswa Matematika Semester 1 Kemendikbud Ristek, ada empat jenis bilangan pecahan yang perlu dipelajari siswa. Jenis-jenis bilangan tersebut:
Pecahan sejati dan tidak sejati
Jenis pecahan ini memiliki bilangan pembilang yang lebih kecil dari penyebut. Selain Faktor Pembagi Terbesar (FPB) pembilang dan penyebutnya pada pecahan sejati bernilai 1.
Contoh dari bilangan pecahan sejati seperti 1/2, 2/5, dan 4/7.
Pecahan desimal
Pecahan desimal memiliki sistem bilangan yang tersusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Contoh dari jenis pecahan ini adalah 0,5; 1,25; dan 3,3. Pada contoh bilangan 1,25 dapat dijabarkan dengan:
Bilangan 1 bernilai 1 x 1 = 1 Bilangan 2 bernilai 2 x 1/10 = 2/10` Bilangan 5 bernilai 5 x 1/100 = 5/100
Pecahan campuran
Pecahan campuran terdiri dari bilangan bulat dengan bilangan campuran, contohnya seperti 2 1/3 dan 3 1/5.
7.Bilangan irasional,Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan dan bilangan e.
Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi
= 3,1415926535…. atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…
Untuk bilangan {\
= 1,4142135623730950488016887242096…. atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
Sejarah nya:
Bilangan adalah bilangan irasional.
Dalam doctorate in Absentia-nya pada tahun 1799, A new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree (Sebuah bukti baru teorema bahwa setiap fungsi aljabar rasional yang tidak terpisahkan dari satu variabel dapat diselesaikan menjadi faktor nyata pada derajat pertama atau kedua), Gauss memberikan bukti teorema fundamental aljabar yang menyatakan bahwa setiap-tiap dari polinomial variabel tunggal bukan-konstanta dengan koefisien kompleks memiliki paling sedikit atau setidaknya satu akar kompleks. Namun banyak matematikawan termasuk Jean le Rond d’Alembert yang memberikan bukti yang salah pada awalnya,dan disertasi Gauss juga banyak mengkritik kerja d’Alembert.
Namun sekali lagi, ironisnya, dengan menggunakan standar sekarang percobaan milik Gauss tidak dapat diterima, yang menyebabkan penggunaan secara implisit teorema Kurva Jordan di dalam kurva fraktal. Bagaimanapun, dia secara berkelanjutan memberikan tiga bukti yang lain,yang terakhir pada 1849 yang dikenal sukar. Upayanya dalam mengklarifikasi konsep mengenai bilangan kompleks memang banyak dibicarakan (dari contoh bilangan irasional paling terkenal:memecahnya dengan menempatkan minus pada satu tingkat di bawah sumbu imajiner dan x pada sumbu positif real,Gauss mengubah bilangan irasional yang sebelumnya dianggap bilangan antara ada dan tiada menjadi dapat diperhitungkan, lihat secara khusus polar kompleks).
Gauss juga memberikan kontribusi sangat penting bagi teori bilangan. Di dalam bukunya pada tahun 1801, Disquisitiones Arithmeticae (bahasa Latin:, Investigasi Aritmetika), yang mana, dalam banyak hal, Gauss memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan menggunakannya dalam presentasi yang baik di dalam aritmetika modular.
Abad ke-19 menyaksikan perkembangan cepat konsep bilangan imajiner di tangan Abraham de Moivre,dan secara khusus Leonhard Euler, yang menjadikannya lebih berdaya guna. Penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks pada abad ke-19 membedakan bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan transenden. Bukti keberadaan bilangan transenden, dan menjamurnya studi-studi saintifik mengenai teori bilangan irasional telah lama dipikirkan sejak Euclid. Tahun 1872 menyaksikan publikasi dari teori-teori dari Karl Weierstrass (oleh muridnya, Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle’s Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind. Meray memulai pada 1869,sama dengan Heine, tetapi teorinya dikutip secara umum pada 1872.
Pecahan kontinu, yang berhubungan dekat dengan bilangan irasional, mendapat perhatian di tangan Euler, dan akhirnya,fajar abad ke-19 benar-benar dibawa menuju keagungan lewat tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange. Dirichlet juga menambahkan dalam teori umumnya, seperti juga banyak sekali kontributor untuk penerapan mengenai subyek
8.Bilangan Real,Pada dasarnya setiap angka atau bilangan yang kita temukan dalam operasi hitungan matematika merupakan bagian dari bilangan real, sebab bilangan real tersebut dapat digolongkan menjadi dua jenis, yakni bilangan irasional, dan bilangan rasional. Kemudian bilangan rasional tersebut dapat dibagi kembali menjadi 2 jenis, yakni bilangan pecahan, dan bilangan bulat.
Selanjutnya bilangan bulat yang termasuk bagian dari bilangan real tersebut juga dapat dibagi kembali menjadi dua bentuk, yakni bilangan bulat negatif, dan bilangan bulat positif (asli) yang bisa dibagi kembali menjadi jenis bilangan ganjil, genap, dan prima.
Apa itu sistem bilangan real?
:Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan semesta pembicaraan dalam Kalkulus. Sedangkan himpunan bilangan real sendiri adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.
Bilangan real, yakni bilangan yang terdiri dari angka rill (1,2,3,4,…..n)
2,123 dibaca minus dua koma satu dua tiga
-23,13 dibaca minus dua puluh tiga koma satu tiga
-1 dibaca minus satu
0
1
23
12,6
½ = 0,5
√2 = 1,4142 …
e = 2,718281 … disebut konstanta euler
π = 3,141592 … disebut konstanta phi
76% = 0,76
sin 60º = 0,866 …
9.Bilangan Imajiner,Bilangan imajiner bisa juga disebut dengan angka imajiner. Mengutip dari situs belajarmtk, angka imajiner adalah anggota dari bilangan riil yang dikalikan dengan unsur imajiner yang biasanya dilambangkan dengan (i), serta menjadi bagian dari bilangan kompleks. Nilai i adalah √-1, di mana r sendiri adalah angka rill dan i m.enjadi unsur dari angka imajiner.
Bilangan imajiner juga bisa digunakan dalam operasi penghitungan aljabar. Misalnya diketahui bahwa bilangan imajiner adalah ai dan bi. Berikut operasi aljabar yang berlaku:
ai + bi maka dapat dinyatakan dengan (a+b)i
ai – bi maka dapat dinyatakan dengan (a-b)i
ai/bi maka dapat dinyatakan dengan a/b di mana nilai b tidak boleh sama dengan 0 (b ≠ 0)
ai x bi maka dapat dinyatakan dengan -ab
Selain pada operasi aljabar, bilangan ini juga umum digunakan pada sifat arus AC atau listrik bolak balik. Sehingga tak hanya pada pelajaran Matematika, tetapi juga menjadi pembelajaran dalam ilmu Fisika untuk menganalisa adanya gelombang Fisika yang menjalar.
Dalam angka riil, kuadratnya akan bersifat non-negatif. Namun untuk angka imajiner, kuadratnya akan menghasilkan angka negatif.
Jika melihat pada angka riil, himpunan pada bilangannya akan membentuk bidang yang berurutan dan lengkap. Namun tidak dengan angka imajiner, jenis angka ini justru memiliki himpunan angka yang tidak lengkap atau berurutan.
Bilangan imajiner merupakan suatu simbol sehingga pada dasarnya tidak ada dan hanya dituliskan saja sebagai bahasa komputasi. Berikut beberapa contoh bilangan imajiner pada operasi aljabar.
Bilangan imajiner mempunyai sifat bilangan komplek yaitu i2=-1, dimana i merupakan satuan imajiner.
Apabila di definisikan, bilangan imajiner didapatkan dari menyelesaikan persamaan kuadratik x²+1 = 0 dan secara ekuivalen akan menjadi x² = -1 atau dituliskan menjadi x=√-1.
10.Bilangan Kompleks,Bilangan kompleks dalam matematika, adalah bilangan yang dinotasikan oleh a+bi a+bi\,}, di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah suatu bilangan imajiner di mana i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Bilangan kompleks secara visual dapat direpresentasikan sebagai sepasang angka (a, b) membentuk vektor pada diagram yang disebut diagram Argand, mewakili bidang kompleks. “Re”adalah sumbu nyata,”Im”adalah sumbu imajiner, dan i memuaskan i2 = −1.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.
Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri dari dua bagian yaitu bagian riil dan bagian imajiner. Bentuk umum bilangan kompleks yaitu a + ib, dengan a dan b merupakan bilangan riil dan b tidak sama dengan 0
Pada bilangan kompleks berbentuk a + ib, bagian “a” merupakan bagian real, sedangkan “ib” merupakan bagian imajinernya.