BILANGAN,  MATERI MATEMATIKA

DASAR MATEMATIKA ADALAH BILANGAN

1. Bilangan asli: terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.



Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano

definisi dari himpunan bilangan asli , dilambangkan . Dari aksioma- aksioma ini, aritmatika Peano pada bilangan asli dapat diturunkan.

(0 adalah bilangan asli)
Untuk setiap , ada tepat satu , yang disebut penerus (0 bukan penerus bilangan asli mana pun)
( aksioma induksi ) Jika dan

menyiratkan , maka
Penerus kadang – kadang dilambangkan sebagai ganti . Kami kemudian memiliki , dan seterusnya.

Aritmatika kacang terdiri dari pernyataan yang diturunkan melalui aksioma ini. Misalnya, dari aksioma ini kita dapat mendefinisikan penjumlahan dan perkalian pada bilangan asli. Penambahan didefinisikan sebagai

Penjumlahan yang didefinisikan dengan cara ini kemudian dapat dibuktikan baik asosiatif maupun komutatif .

Perkalian adalah
Definisi perkalian ini juga dapat dibuktikan asosiatif dan komutatif, dan juga dapat ditunjukkan distributif terhadap penjumlahan.

2. Bilangan nol: adalah suatu angka dan digit angka yang digunakan untuk mewakili angka dalam angka. Angka nol memainkan peranan penting dalam matematika sebagai identitas tambahan bagi bilangan bulat, bilangan real, dan struktur aljabar lainnya. Sebagai angka, nol digunakan sebagai tempat dalam sistem nilai tempat.

3. Bilangan cacah: adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif atau himpunan bilangan asli ditambah 0. Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif.[1] Bilangan cacah dikenali pada bilangan-bilangan yang membentuk himpunan. Himpunan bilangan cacah dapat berupa bilangan bulat yang tidak negatif atau bilangan asli yang ditambah nol. Selain itu, bilangan cacah selalu bertanda positif dan umumnya diberi notasi {W}

Secara matematis, bilangan cacah dapat ditulis sebagai

W=(0,1, 2,3,…) atau disingkat menjadi w=(0) UN

4. Bilangan Bulat:adalah bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Sebagai contoh, 21, 4, 0, dan -2048 merupakan bilangan bulat, sedangkan 9,75, 5 bukan. Himpunan bilangan bulat terdiri dari angka 0, semua bilangan bulat positif {1,2,3,…)(juga disebut dengan bilangan asli), dan invers aditif-nya, semua bilangan bulat negatif {-1,-2,-3,…}Dalam matematika, himpunan ini sering dilambangkan dengan Z atau huruf tebal. Huruf kapital Z yang digunakan berasal dari kata Zahlen, yang berarti bilangan dalam bahasa Jerman.

Bilangan bulat dapat dianggap sebagai titik-titik diskret yang berjarak sama sepanjang garis bilangan. Pada gambar ini, bilangan-bilangan bulat positif ditandai dengan warna hijau dan bilangan-bilangan bulat negatif dengan warna biru.

Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, sekaligus juga dari bilangan real

Subhimpunan  {Z} } yang hanya terdiri dari angka 0 dan bilangan-bilangan bulat positif disebut dengan bilangan cacah. Himpunan  {Z} } sendiri merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional,karena nilainya dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut 1. Bilangan rasional selanjutnya merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan real.


sebagai titik-titik diskret yang berjarak sama sepanjang garis bilangan. Pada gambar ini, bilangan-bilangan bulat positif ditandai dengan warna hijau dan bilangan-bilangan bulat negatif dengan warna biru.

Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, sekaligus juga dari bilangan real
Bilangan bulat dapat dianggap sebagai titik-titik diskret yang berjarak sama sepanjang garis bilangan. Pada gambar ini, bilangan-bilangan bulat positif ditandai dengan warna hijau dan bilangan-bilangan bulat negatif dengan warna biru.

Himpunan bilangan bulat merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, sekaligus juga dari bilangan real
Subhimpunan Z yang hanya terdiri dari angka 0 dan bilangan-bilangan bulat positif disebut dengan bilangan cacah. Himpunan Z sendiri merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, karena nilainya dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut 1. Bilangan rasional selanjutnya merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan real.

5. Bilangan pecahan:adalah istilah dalam matematika yang dimana b ≠ 0. Dalam hal ini merupakan pembilang dan b merupakan penyebut. Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmatika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama.

yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama.

Contoh soalnya ada di bawah!

Seloyang kue dengan seperempat bagian yang telah diambil. Sisa tiga perempat bagian dari kue ditunjukkan pada gambar. Garis putus-putus menunjukkan di bagian mana kue dapat dipotong agar dapat membagi kue itu sama rata. Seperempat ditulis dengan notasi pecahan
1
4

6. Bilangan Desimal:adalah sistem standar yang melambangkan bilangan bulat dan bukan bilangan bulat. Sistem bilangan ini merupakan perluasan untuk bilangan dari sistem bilangan Hindu–Arab. Cara melambangkan bilangan dalam bentuk sistem desimal seringkali disebut sebagai notasi desimal.

Bilangan desimal (juga seringkali disebut desimal, atau istilah yang kurang tepat, bilangan desimal) mengacu pada notasi suatu bilangan dalam sistem bilangan desimal. Desimal terkadang dapat diidentifikasi dengan pemisah desimal, yakni suatu bilangan yang biasanya menggunakan tanda titik “.” atau tanda koma “,” sebagai pemisah. Sebagai contoh, 25.9703 atau 3,1415. Desimal juga dapat mengacu khususnya pada digit setelah pemisah desimal, sebagai contoh “3,14 merupakan hampiran dari nilai π dengan dua desimal”. Digit-digit nol setelah pemisah desimal memiliki tujuan khusus untuk menandai ketepatan suatu nilai.

Bilangan yang dapat diwakili dalam sistem desimal merupakan pecahan dengan bentuk
a
10n
, dimana a bilangan bulat dan n bilangan bulat taknegatif. Pecahan tersebut disebut pecahan desimal.

Sistem bilangan desimal telah diperluas ke desimal takhingga untuk mewakili setiap bilangan real, dengan mengunakan sebuah barisan digit takhingga setelah pemisah desimal (lihat representasi desimal). Pada konteks ini, bilangan desimal dengan jumlah terhingga dari digit bukan nol setelah pemisah desimal terkadang disebut terminating decimal. Desimal berulang merupakan sebuah desimal takhingga yang mengulangi barisan digit yang sama, yang terletak pada barisan tersebut (sebagai contoh, 5,123144144144144… = 5.123144). Sebuah desimal takhingga mewakili sebuah bilangan rasional jika dan hanya jika barisannya merupakan desimal berulang atau memiliki jumlah terhingga dari digit bukan nol.

7. Bilangan irasional:adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π, dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535…. atau
= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…
Untuk bilangan 2:

= 1,4142135623730950488016887242096…. atau
= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..
dan untuk bilangan e:

= 2,7182818….

8. Bilangan Real:menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan 2. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.


Simbol yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan bilangan riil
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.


Bilangan riil dapat dipahami sebagai titik-titik garis bilangan yang panjangnya tak terhingga.
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat – dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik – merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap (R ; + ; · ; <), sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau “lambang desimal” tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik

Real-nya adalah terhitung; yaitu: meskipun himpunan dari semua bilangan asli dan himpunan semua bilangan real adalah himpunan tak hingga, tidak ada fungsi satu-ke-satu mondar-mandir: kardinalitas dari himpunan semua bilangan real (dilambangkan dan disebut kardinalitas kontinum) secara ketat lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli (dilambangkan 0). Pernyataan bahwa tidak ada subset real dengan kardinalitas yang lebih besar dari dan lebih kecil dari dikenal sebagai hipotesis kontinum. Hal ini diketahui tidak dapat dibuktikan atau disangkal menggunakan aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel, dasar standar matematika modern, asalkan teori himpunan ZF adalah konsistensi.Berikut contoh bilangan real:

-2,123 dibaca minus dua koma satu dua tiga
-23,13 dibaca minus dua puluh tiga koma satu tiga
-1 dibaca minus satu
0
1
23
12,6
½ = 0,5
√2 = 1,4142 …
e = 2,718281 … disebut konstanta euler
π = 3,141592 … disebut konstanta phi
76% = 0,76
sin 60º = 0,866 …
Terlihat semua angka tersebut dibentuk dari angka berbasis 10 (desimal).

9. Bilangan imajiner:adalah bilangan yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner  i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:{\displaystyle x^{2}+1=0\ }

atau secara ekuivalen

{\displaystyle x^{2}=-1\ }

Bilangan imajiner dan/atau bilangan kompleks ini sering dipakai di bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisis gelombang fisika yang menjalar ke arah sumbu x mengikuti

E ¡ (kx- wt) = Ej (wt – kw),dengan j = −i.

10. Bilangan Kompleks:adalah bilangan yang dinotasikan oleh {\displaystyle a+bi, di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah suatu bilangan imajiner di mana i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.


Bilangan kompleks secara visual dapat direpresentasikan sebagai sepasang angka (a, b) membentuk vektor pada diagram yang disebut diagram Argand, mewakili bidang kompleks. “Re”adalah sumbu nyata,”Im”adalah sumbu imajiner, dan i memuaskan i2 = −1.
Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Nama : Siska yunita Simanungkalit

Kelas : 7.3

Matapelajaran : Mtk / Tugas MTK

Share:

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

error: 08117764777